Προτάσεις.

ε΄. Ἐὰν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν καὶ τὸ ἀφανές, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης αὐτῆς καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. Διὰ γὰρ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ο ΑΒΓ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐν τῇ περιφορὰ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει. Ἔστω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ ∠,καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ φέρεται τὸ ∠σημεῖον ὁ Β∠ΓΕ· ἐν τῇ ἄρα περιφορᾷ τῆς σφαίρας τὸ ∠σημεῖον, ὅταν μὲν κατὰ τὸ Γ γένηται, ἀνατέλλει, ὅταν δὲ κατὰ τὸ Β, δύνει. καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος τὸν Β∠ΓΕ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΕΓ Β∠Γ· τὸ ∠ἄρα σημεῖον αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον. ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα.