Προτάσεις.

ϛ΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀφανής. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἔσται ἀφανής. Ἐστω γὰρ ὁ πόλος τῆς σφαίρας ὁ φανερὸς ὁ ∠,καὶ διὰ τοῦ ∠καὶ τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ Α∠Ε, καὶ κείσθω τῇ Α∠ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ πόλῳ τῷ ∠διαστήματι δὲ τῷ Α∠ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, πόλῳ δὲ τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΘΚ φανερὸν δὴ ὅτι ὁ ΑΖH κύκλος τῷ ΓΘΚ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλός ἐστιν καὶ ἔτι ὁ ΑΒΓ κύκλος τῶν ΑΖΗ ΓΘΚ κύκλων ἐφάπτεται· λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ μὲν ΑΖΗ κύκλος αἰεί ἐστι φανερός, ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ ΑΖΗ κύκλος αἰεὶ φανερὸς ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὁ ΑΖΗ κύκλος συμβαλεῖ τῷ ΑΒΓ ὁρίζοντι. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Λ ΑΓ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ Α∠Γ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ὁ Α∠Γ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον· κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ Α∠Γ καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα τέμνεται κατὰ τὸ ∠,καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ Α∠ (τοῦτο γὰρ φανερόν )· ἡ ἄρα Α∠ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ∠πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Α∠ εὐθεῖα τῆς ∠Λ εὐθείας. ἀλλὰ καὶ ἴση (πόλος γάρ ἐστιν τὸ ∠σημεῖον τοῦ ΑΖΗ κύκλου), ὅπερ ἄτοπον· ἐν ἄρα τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ ΑΖΗ κύκλος οὐ δύσεται. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ὁ ΓΘΚ ἀνατελεῖ· ὁ μὲν ΑΖΗ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν φανερός, ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής.