Ι΄.

ζ΄. Ἀπόδειξις τῆς τοῦ τοῦ Ἄρεως ἐκκεντρότητος καὶ τοῦ ἀπογείου. Ὥσπερ οὖν ἐπὶ τῆς σελήνης λαβόντες τριῶν πανσεληνιακῶν ἐκλείψεων τούς τε τόπους καὶ τοὺς χρόνους ἀπεδείκνυμεν διὰ τῶν γραμμῶν τόν τε τῆς ἀνωμαλίας λόγον καὶ τὸν τοῦ ἀπογείου τόπον, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐνταῦθα τριῶν ἀκρωνύκτων τῶν πρὸς τὴν μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον διαμέτρων καθʼ ἕκαστον τῶν ἀστέρων τούτων τούς τε τόπους τηρήσαντες ὡς ἔνι μάλιστα ἀκριβῶς διὰ τῶν ἀστρολάβων ὀργάνων καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς τηρήσεις μέσων τοῦ ἡλίου παρόδων τὸν πρὸς τὸ λεπτομερέστερον τῆς διαστάσεως χρόνον τε καὶ τόπον προσεπιλογισάμενοι ἀπὸ τούτων δείκνυμεν τόν τε τῆς ἐκκεντρότητος λόγον καὶ τὸ ἀπόγειον. ἐπὶ πρώτου τοίνυν τοῦ τοῦ Ἄρεως ἐλάβομεν τρεῖς ἀκρωνύκτους, ὧν τὴν μὲν πρώτην ἐτηρήσαμεν τῷ ιε΄ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Τυβὶ κς΄ εἰς τὴν κζ΄ μετὰ μίαν ὥραν ἰσημερινὴν τοῦ μεσονυκτίου περὶ Διδύμων μοίρας κα, τὴν δὲ δευτέραν τῷ ιθ΄ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Φαρμουθὶ ς΄ εἰς τὴν ζ΄ πρὸ ὡρῶν γ τοῦ μεσονυκτίου περὶ Λέοντος μοίρας κη ν, τὴν δὲ γ΄ τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ ιβ΄ εἰς τὴν ιγ΄ πρὸ δύο ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου περὶ Τοξότου μοίρας β λδ. οἱ μὲν οὖν χρόνοι τῶν διαστάσεων περιέχουσιν ἀπὸ μὲν τῆς α΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν β΄ ἔτη Αἰγυπτιακὰ δ καὶ ἡμέρας ξθ καὶ ὥρας ἰσημερινὰς κ, ἀπὸ δὲ τῆς β΄ ἐπὶ τὴν γ΄ ἔτη δ ὁμοίως καὶ ἡμέρας 𝒢Ϛ καὶ ὥραν ἰσημερινὴν α. συνάγονται δὲ ἐκ μὲν τοῦ τῆς α΄ διαστάσεως χρόνου μεθʼ ὅλους κύκλους μήκους κινήσεως μοῖραι πα μδ, ἐκ δὲ τοῦ τῆς δευτέρας μοῖραι 𝒢ε κη· οὐδενὶ γὰρ ἀξιολόγῳ διοίσει, κἂν ἀπὸ τῶν ὁλοσχερέστερον ἐκτεθειμένων περιοδικῶν ἀποκαταστάσεων ἐπί γε τοῦ τοσούτου χρόνου τὰς μέσας κινήσεις ἐπιλογιζώμεθα. δῆλον δʼ, ὅτι καὶ κατὰ μὲν τὴν πρώτην διάστασιν ὁ φαινόμενος ἀστὴρ κεκίνηται μεθʼ ὅλους κύκλους μοίρας ξζ ν, κατὰ δὲ τὴν δευτέραν μοίρας 𝒢γ μδ. γεγράφθωσαν δὴ ἐν τῷ τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπιπέδῳ γ ἴσοι κύκλοι, ὧν ὁ μὲν τὸ κέντρον φέρων τοῦ ἐπικύκλου τοῦ τοῦ Ἄρεως ἔστω ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠; ,ὁ δὲ τῆς ὁμαλῆς κινήσεως ἔκκεντρος ὁ ΕΖΗ περὶ κέντρον τὸ Θ, ὁ δὲ ὁμόκεντρος τῷ ζῳδιακῷ ὁ ΚΛΜ περὶ κέντρον τὸ Ν, ἡ δὲ διὰ πάντων τῶν κέντρων διάμετρος ἡ ΞΟ ΠΡ· ὑποκείσθω δὲ τὸ μὲν Α, καθʼ οὗ ἦν τὸ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον ἐν τῇ α΄ ἀκρωνύκτῳ, τὸ δὲ Β, καθʼ οὗ ἦν ἐν τῇ β΄ ἀκρωνύκτῳ, τὸ δὲ Γ, καθʼ οὗ ἦν ἐν τῇ γ΄ ἀκρωνύκτῳ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΘΑΕ καὶ ΘΒΖ καὶ ΘΗΓ καὶ ΝΚΑ καὶ ΝΛΒ καὶ ΝΓΜ, ὥστε τὴν μὲν ΕΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν μοιρῶν εἶναι τῶν τῆς α΄ περιοδικῆς διαστάσεως πα μδ, τὴν δὲ ΖΗ τῶν τῆς β΄ 𝒢ε κη, καὶ πάλιν τὴν μὲν ΚΑ περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ τῶν τῆς φαινομένης α΄ διαστάσεως μοιρῶν ξζ ν, τὴν δὲ ΛΜ τῶν τῆς β΄ 𝒢γ μδ. εἰ μὲν οὖν αἱ ΕΖ καὶ ΖΗ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαι ὑπὸ τῶν ΚΛ καὶ ΛΜ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν ὑπετείνοντο, οὐδὲν ἂν ἄλλο πρὸς τὴν δεῖξιν ἔτι τῆς ἐκκεντρότητος ἐζητοῦμεν· ἐπεὶ δʼ αὐταὶ μὲν τὰς ΑΒ καὶ ΒΓ τοῦ μέσου ἐκκέντρου ὑποτείνουσι μὴ δεδομένας, ἐὰν δʼ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΝΣΕ καὶ ΝΤΖ καὶ ΝΗΥ, πάλιν τὰς ΕΖ καὶ ΖΗ τοῦ ἐκκέντρου περιφερείας αἱ ΣΤ καὶ ΤΥ τοῦ ζῳδιακοῦ ὑποτείνουσι μηδὲ αὐταὶ δηλονότι δεδομέναι, δεήσει πρότερα δοθῆναι τὰ ΚΣ καὶ ΛΤ καὶ ΜΥ διάφορα τμήματα, ἵνα ἀπὸ τῶν συζυγουσῶν περιφερειῶν τῶν τε ΕΖΗ καὶ τῶν ΣΤΥ πρὸς ἀκρίβειαν ὁ τῆς ἐκκεντρότητος λόγος ἀποδειχθῇ. ἐπεὶ δʼ οὐδὲ ταύτας οἷόν τέ ἐστιν ἀκριβῶς λαβεῖν πρότερον τοῦ τε τῆς ἐκκεντρότητος λόγου καὶ τοῦ ἀπογείου, δοθήσονται μέντοι ἔγγιστα, κἂν μὴ ἀκριβῶς ἐκεῖνα προυπαρχθῇ, διὰ τὸ μὴ μεγάλας αὐτῶν γίγνεσθαι τὰς διαφοράς, ποιησόμεθα πρότερον τὸν ἐπιλογισμὸν ὡς μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφερουσῶν παρὰ τὰς ΚΛΜ ΣΤΥ περιφερειῶν. ἔστω γὰρ ὁ τῆς ὁμαλῆς παρόδου τοῦ τοῦ Ἄρεως ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ὑποκείσθω τὸ μὲν Α σημεῖον τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου, τὸ δὲ Β τῆς δευτέρας, τὸ δὲ Γ τῆς τρίτης, εἰλήφθω δὲ ἐντὸς αὐτοῦ τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐφʼ οὗ ἡ ὄψις ἡμῶν, τὸ ∠; ,καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι πάντοτε ἀπὸ τῶν γ σημείων τῶν ἀκρωνύκτων ἐπὶ τὸ τῆς ὄψεως, ὡς νῦν ἥ τε Α ∠καὶ ἡ Β ∠Α καὶ ἡ Γ∠; ,καὶ ἐκβεβλήσθω μὲν καθόλου μία τῶν ἐπεζευγμένων γ εὐθειῶν ἐπὶ τὴν ἐναντίαν τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν, ὡς ἐνθάδε ἡ Γ∠Ε, τὰ δὲ λοιπὰ δύο σημῖα τῶν ἀκρωνύκτων ἐπιζευγνύτω εὐθεῖα, ὡς ἐπὶ τούτων ἡ ΑΒ ἔπειτα ἀπὸ τῆς γενομένης τομῆς τοῦ ἐκκέντρου ὑπὸ τῆς ἐκβεβλημένης εὐθείας, οἷον τοῦ Ε, ἐπιζευγνύσθωσαν μὲν εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ λοιπὰ δύο σημεῖα τῶν ἀκρωνύκτων, ὡς ἐνθάδε ἥ τε ΕΑ καὶ ΕΒ, κάθετοι δʼ ἀγέσθωσαν ἐπὶ τὰς ἀπὸ τῶν εἰρημένων β σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ἐπιζευγνυμένας εὐθείας, ὡς ἐπὶ τούτων ἐπὶ μὲν τὴν Α∠ ἡ ΕΖ, ἐπὶ δὲ τὴν Β ∠ἡ ΕΗ, καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν εἰρημένων β σημείων κάθετος ἀγέσθω πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἐπὶ τὸ γενόμενον τοῦ ἐκκέντρου περισσὸν σημεῖον ἐπιζευχθεῖσαν, ὡς ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΕ εὐθεῖαν ἡ ΑΘ. ταῦτα μὲν οὖν ἀεὶ τηροῦντες ἐπὶ τῆς τοιαύτης καταγραφῆς, καθʼ ὃν ἂν βουλώμεθα τρόπον, τοὺς αὐτοὺς λόγους ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν εὑρήσομεν φερομένους, ἡ δὲ λοιπὴ δεῖξις ἀπὸ τῶν προκειμένων ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως περιφερειῶν ἔσται φανερὰ τὸν τρόπον τοῦτον· ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια ὑπόκειται ὑποτείνουσα τοῦ ζῳδιακοῦ μοίρας 𝒢γ μδ, εἴη ἂν ἡ μὲν ὑπὸ Β∠Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢γ μδ, οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ρπζ κη, ἡ δʼ ἐφεξῆς αὐτῇ ἡ ὑπὸ Ε∠Η τῶν αὐτῶν ροβ λβ ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ροβ λβ, οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΕΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δὲ ΕΗ εὐθεῖα τοιούτων ριθ με, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ε ὑποτείνουσα ρκ. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ ΒΓ περιφέρειά ἐστι μοιρῶν 𝒢ε κη, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων 𝒢ε κη, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Β∠Ε γωνία ροβ λβ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῶν αὐτῶν ἔσται 𝒢β. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν 𝒢β, οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΕΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δὲ ΕΗ εὐθεῖα τοιούτων πϛ ιθ, οἵων ἐστὶν ἡ ΒΕ ὑποτείνουσα ρκ. καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΗ ἐδείχθη ριθ με, ἡ δὲ Ε∠ ὁμοίως ρκ, τοιούτων καὶ ἡ ΒΕ ἔσται ρξς κθ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒΓ ὅλη περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου ὑποτείνουσα ὑπόκειται τοῦ ζῳδιακοῦ τὰς συναγομένας ἀμφοτέρων τῶν διαστάσεων μοίρας ρξα λδ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Α∠Γ γωνία τοιούτων ρξα λδ, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ Α∠Ε τῶν αὐτῶν μὲν ιη κς, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων λς νβ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶ λς νβ, οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δὲ ΕΖ εὐθεῖα τοιούτων λζ νζ, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ε ὑποτείνουσα ρκ. ὁμοίως, ἐπεὶ ἡ ΑΒΓ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια συνάγεται μοιρῶν ροζ ιβ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τοιούτων ροζ ιβ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ. τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α∠Ε γωνία λϛ νβ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΑΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρμε νς. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρμε νς, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δὲ ΕΖ εὐθεῖα τοιούτων ριδ μδ, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΕ ὑποτείνουσα ρκ. καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΖ ἐδείχθη λζ νζ, ἡ δὲ Ε∠ εὐθεῖα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ ΑΕ ἔσται λθ μβ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πα μδ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τοιούτων πα μδ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΑΘ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν πα μδ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δ᾿ ἐπὶ τῆς ΕΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢η ις. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΑΘ ἔσται τοιούτων οη λα, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΕ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ Ε τῶν αὐτῶν με· ὥστε καί, οἵων ἡ μὲν ΑΕ ἐδείχθη λθ μβ, ἡ δὲ ∠Ε ὑπόκειται ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΑ ἔσται κε νη, ἡ δὲ ΕΘ ὁμοίως λ καὶ ἑξηκοστῶν β. τῶν δʼ αὐτῶν ἐδέδεικτο καὶ ἡ ΕΒ ὅλη ρξς κθ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ τοιούτων ἐστὶν ρλς κζ, οἵων ἡ ΘΑ ἦν κε νη. καί ἐστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΘΒ τετράγωνον Μ ηχιε ιϛ, τὸ δ᾿ ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως χοδ ιϛ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον Μ θσπθ λβ μήκει ἄρα ἡ ΑΒ τοιούτων ρλη νγ, οἵων ἡ μὲν Ε∠ ἦν ρκ, ἡ δὲ ΑΕ εὐθεῖα λθ μβ. ἔστιν δὲ καί, οἵων ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ, τοιούτων ἡ ΑΒ εὐθεῖα οη λα· ὑποτείνει γὰρ περιφέρειαν μοιρῶν πα μδ· καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα οη λα, ἡ δὲ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν Ε∠ ἔσται ξζ ν, ἡ δὲ ΑΕ τῶν αὐτῶν κβ μδ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου μοιρῶν ἐστιν κα μα, ὅλη δὲ ἡ ΕΑΒΓ μοιρῶν ρ𝒢η νγ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ μὲν ΓΕ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρξα ζ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ Γ∠Ε τοιούτων ριη κβ, οἵων ἐστὶν ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ. εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΕ εὐθεῖα ἴση ἦν εὑρημένη τῇ διαμέτρῳ τοῦ ἐκκέντρου, δῆλον, ὅτι καὶ ἐπʼ αὐτῆς ἂν ἐτύγχανε τὸ κέντρον αὐτοῦ, καὶ αὐτόθεν ἂν ἐφαίνετο τῆς ἐκκεντρότητος ὁ λόγος· ἐπεὶ δὲ οὐ γέγονεν ἴση, μεῖζον δὲ καὶ τὸ ΕΑΒΓ τμῆμα πεποίηκεν ἡμικυκλίου, φανερόν, ὅτι πρὸς τούτῳ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ ἐκκέντρου. ὑποκείσθω δὴ τὸ Κ, καὶ διήχθω διὰ τούτου καὶ τοῦ ∠ἡ διʼ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων διάμετρος ἡ ΛΚ∠Μ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΓΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΝΞ. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων ριη κβ, οἵων ἐστὶν ἡ ΛΜ διάμετρος ρκ, τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ∠Ε εὐθεῖα ξζ ν, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ ἔσται τῶν αὐτῶν ν λβ. ὥστε, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Ε∠; ,∠Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ∠; ,∠Μ περιεχομένῳ ,τοιούτων ἕξομεν τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠; ,∠Μ περιεχόμενον ὀρθογώνιον γυκζ να. ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠; ,∠Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Κ τετραγώνου ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης, τουτέστιν τῆς ΛΚ, τετράγωνον . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου τῶν γινομένων γχ ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠; ,∠Μ τὰ γυκζ να, καταλειφθήσεται ἡμῖν τὸ ἀπὸ τῆς ∠Κ τετράγωνον τῶν αὐτῶν ροβ θ. καὶ μήκει ἄρα ἕξομεν τὴν ∠Κ μεταξὺ τῶν κέντρων οὖσαν τοιούτων ιγ ζ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς ΓΕ, τουτέστιν ἡ ΓΝ, τοιούτων ἐστὶν νθ ια, οἵων ἡ ΛΜ διάμετρος ρκ, τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα ν λβ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Ν τοιούτων ἐστὶν η λθ, οἵων ἡ ∠Κ εὑρέθη ιγ ζ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Κ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Ν ἔσται οθ η, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων πβ λ, οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΚΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΚΝ ἄρα γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν πβ λ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μα ιε. καὶ ἐπεὶ πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστὶν τοῦ ἐκκέντρου, ἕξομεν καὶ τὴν ΜΞ περιφέρειαν μοιρῶν μα ιε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΓΜΞ ὅλη ἡμίσεια οὖσα τῆς ΓΞΕ π λδ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΜ ἡ ἀπὸ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ περίγειον μοιρῶν ἐστιν λθ ιθ. φανερὸν δέ, ὅτι καὶ τῆς μὲν ΒΓ ὑποκειμένης 𝒢ε κη μοιρῶν καὶ λοιπὴ ἡ ΛΒ ἡ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἐπὶ τὴν β΄ ἀκρώνυκτον μοιρῶν ἔσται με ιγ, τῆς δὲ ΑΒ ὑποκειμένης μοιρῶν πα μδ καὶ λοιπὴ ἡ ΑΛ ἡ ἀπὸ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ ἀπόγειον μοιρῶν λϚ λα. τούτων τοίνυν ὑποκειμένων σκεψώμεθα τὰς συναγομένας ἀπʼ αὐτῶν διαφορὰς τῶν ἐπιζητουμένων καθʼ ἑκάστην ἀκρώνυκτον τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν τὸν τρόπον τοῦτον· ἐκκείσθω γὰρ ἐκ τοῦ τῶν γ ἀκρωνύκτων προκειμένου σχήματος ἡ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου μόνης καταγραφή, καὶ προσεπιζευχθείσης τῆς Α∠ κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠καὶ Ν σημείων ἐπὶ τὴν ΑΘ ἐκβληθεῖσαν αἱ ∠Φ καὶ ΝΧ. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΞΕ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν λς λα, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΞ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων λϚ λα, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΘΦ ογ β· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ογ β, οἵων ὁ περὶ τὸ ∠Θ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΘΦ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρϚ νη. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν οα κε, οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν ??ς κζ. ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα Ϛ λγ U+2220΄, ἡ δὲ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται γ νδ, ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως ε ις. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Α ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΦΑ ,ἔσται καὶ ἡ μὲν ΑΦ μήκει νθ νβ, ὅλη δὲ ἡ ΧΑ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΦΘ, τοιούτων ξε η, οἵων καὶ ἡ ΝΧ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Φ συνάγεται ζ μη. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΑ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ἔσται ξε λς . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΝΑ εὐθεῖα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΧΝ ἔσται ιδ ις, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιγ μ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΑΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιγ μ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ. πάλιν, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΘΕ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΧΝ ἐδείχθη ζ μη, ἡ δὲ ΧΘ ὁμοίως ι λβ, καὶ ὅλη μὲν ἔσται ἡ ΧΘΕ τῶν αὐτῶν ο λβ, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΕ ὑποτείνουσα οα ἔγγιστα καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΝΕ εὐθεῖα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΧΝ εὐθεῖα ἔσται ιγ ι, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιβ λς, οἵων ὁ περὶ τὸ ΕΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΕΧ τοιούτων ἐστὶν ιβ λς, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΝΑΧ γωνία ιγ μ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΝΕ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν α δ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ο λβ. τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΚΣ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια. ἐκκείσθω δὴ τὸ ὅμοιον σχῆμα περιέχον τὴν τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου καταγραφήν. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΞΖ μοιρῶν ὑπόκειται με ιγ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΞΘΖ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων με ιγ, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΘΦ γωνία κς· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν κς, οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον πθ λδ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων πε ι, οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν πδ λβ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα ς λγ U+2220΄, ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται δ λθ, ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ λη. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ τετράγωνον ,ἔσται καὶ ἡ μὲν ΦΒ μήκει νθ μθ, ἡ δὲ ΧΒ ὅλη διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΦΧ τῇ ΦΘ τοιούτων ξδ κζ, οἵων καὶ ἡ ΝΧ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Φ συνάγεται θ ιη. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΒ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ἔσται ξθ ϛ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ρκ ἡ ΝΒ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιζ θ, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ις κς, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ις κς, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . πάλιν, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΖΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἐδείχθη θ ιη, ἡ δὲ ΧΘ ὁμοίως θ ις, καὶ ὅλη μὲν ἔσται ἡ ΧΘΖ τῶν αὐτῶν ξθ ις, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΖ ὑποτείνουσα ξθ νβ · καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ις ἔγγιστα, ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιε κ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΖΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΝΖΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιε κ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ. τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒΧ γωνία ις κϛ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΖ τῶν μὲν αὐτῶν α ϛ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ο λγ. τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΛΤ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια. ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου τὴν ΚΣ εὑρήκειμεν ο λβ, δῆλον, ὅτι τοῖς ἀμφοτέρων τῶν περιφερειῶν τμήμασιν α ε μείζων ἔσται ἡ πρὸς τὸν ἔκκεντρον θεωρουμένη πρώτη διάστασις τῆς φαινομένης καὶ περιέξει μοίρας ξη νε. ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς τρίτης ἀκρωνύκτου καταγραφή. ἐπεὶ τοίνυν καὶ ἡ ΠΗ περιφέρεια ὑπόκειται μοιρῶν λθ ιθ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΠΘΗ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων λθ ιθ, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων οη λη. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν οη λη, οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΘΦ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρα κβ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν ος β, οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΘΦ τῶν αὐτῶν 𝒢β ν· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ μεταξὺ τῶν κέντρων ϛ λγ U+2220΄, ἡ δὲ ∠Γ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται δ θ, ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως ε δ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ∠ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΦ ,ἔσται καὶ ἡ μὲν ΓΦ εὐθεῖα νθ να, λοιπὴ δὲ ἡ ΓΧ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΘΦ τῇ ΦΧ τοιούτων νδ μζ, οἵων καὶ ἡ ΝΧ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Φ συνάγεται η ιη. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΓ ὑποτείνουσα γίνεται τῶν αὐτῶν νε κε . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ρκ ἡ ΝΓ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιζ νθ, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιζ ιδ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΓΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιζ ιδ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ. πάλιν, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΘΗ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἐδείχθη η ιη, ἡ δὲ ΘΧ ὁμοίως ι η, καὶ λοιπὴ μὲν ἔσται ἡ τῶν αὐτῶν μθ νβ, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΗ ὑποτείνουσα ν λγ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ρκ ἡ ΝΗ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιθ μβ, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιη νδ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΗΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΗΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιη νδ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ. τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ ὑπὸ ΝΓΧ γωνία ιζ ιδ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΝΓ τῶν μὲν αὐτῶν ἐστιν α μ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ο ν. τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΜΥ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια. ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου τὴν ΛΤ εὑρήκειμεν Ο λγ, δῆλον, ὅτι τοῖς συναμφοτέρων τῶν περιφερειῶν τμήμασιν α κγ ἐλάσσων ἔσται ἡ πρὸς τὸν ἑκκεντρον θεωρουμένη τῆς φαινομένης β΄ διάστασις καὶ περιέξει μοίρας 𝒢β κα. κατὰ ταύτας τοίνυν τὰς συνηγμένας τῶν β διαστάσεων τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερείας καὶ τὰς φύσει πάλιν κατὰ τὸν ἔκκεντρον ὑποκειμένας ἀκολουθήσαντες τῷ προδεδειγμένῳ τούτων θεωρήματι ,διʼ οὗ τό τε ἀπόγειον καὶ τὸν τῆς ἐκκεντρότητος λόγον δείκνυμεν, εὑρίσκομεν, ἵνα μὴ διὰ τῶν αὐτῶν μακροποιώμεθα τὸν ὑπομνηματισμόν, τὴν μὲν μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν ∠Κ τοιούτων γινομένην ια ν, οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τὴν δὲ ΓΜ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν, τουτέστιν τὴν ἀπὸ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ περίγειον, μοιρῶν με λγ, ἀφʼ ἧς πάλιν καὶ ἡ μὲν ΛΒ γίνεται μοιρῶν λη νθ, ἡ δὲ ΑΛ ὁμοίως μβ με. τούτοις δʼ ὡσαύτως ἀκολουθήσαντες ἐπὶ τῶν καθʼ ἑκάστην ἀκρώνυκτον δείξεων εὕρομεν λοιπὸν τὰς ἀκριβεῖς πηλικότητας ἑκάστης τῶν ζητουμένων περιφερειῶν τῆς μὲν ΚΣ ἑξηκοστὰ κη, τῆς δὲ ΛΤ τὰ ἴσα ἔγγιστα ὡσαύτως κη, τῆς δὲ ΜΥ ἑξηκοστὰ μ. ὧν τὰ μὲν τῆς α καὶ τὰ τῆς β΄ ἀκρωνύκτου συνθέντες καὶ τὰ γενόμενα ἑξηκοστὰ νς προσθέντες ταῖς τῆς πρώτης διαστάσεως τοῦ ζῳδιακοῦ μοίραις ξζ ν τὴν πρὸς τὸν ἔκκεντρον ἀκριβῶς θεωρουμένην διάστασιν ἔσχομεν μοιρῶν ξη μϛ, τὰ δὲ τῆς β΄ καὶ τῆς γ΄ ἄκρωνύκτου συνθέντες καὶ τὴν γενομένην μοῖραν α ἀφελόντες τῶν κατὰ τὴν β΄ διάστασιν φαινομένων τοῦ ζῳδιακοῦ μοιρῶν 𝒢γ μδ τὴν πρὸς τὸν ἔκκεντρον πάλιν ἀκριβῶς θεωρουμένην διάστασιν εὕρομεν μοιρῶν 𝒢β λς. ἀφʼ ὧν λοιπὸν τῇ αὐτῇ δείξει χρησάμενοι τόν τε λόγον τῆς ἐκκεντρότητος καὶ τὸ ἀπόγειον ἠκριβώσαμεν καὶ εὕρομεν τὴν μὲν μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν ∠Κ τοιούτων ιβ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τὴν δὲ ΓΜ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν μοιρῶν μδ κα, ἀφʼ ἧς πάλιν καὶ ἡ μὲν ΛΒ γίνεται μοιρῶν μ ια, ἡ δὲ ΑΛ ὁμοίως μα λγ. ὅτι δὲ ταύταις λοιπὸν ταῖς πηλικότησιν καὶ αἱ τετηρημέναι τῶν γ ἀκρωνύκτων φαινόμεναι διαστάσεις σύμφωνοι καταλαμβάνονται, διὰ τῶν αὐτῶν ποιήσομεν δῆλον. ἐκκείσθω γὰρ ἡ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου καταγραφὴ μόνον ἔχουσα τὸν ΕΖ ἔκκεντρον, ἐφʼ οὗ πάντοτε φέρεται τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΑΘΕ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν μα λγ, οἵων δʼ αἰ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΘΦ γωνία πγ ϛ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠ΘΦ περιφέρεια τοιούτων πγ Ϛ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢Ϛ νδ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν οθ λε, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν πθ ν ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα Ϛ, ἡ δὲ ∠Α ὑποτείνουσα ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται γ νη U+2220΄ ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ λ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Α ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΦΑ ,ἔσται καὶ αὕτη μήκει τῶν αὐτῶν νθ ν. πάλιν, ἐπεὶ ἡ μὲν ΦΘ τῇ ΦΧ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΝΧ τῆς ∠Φ διπλῆ ,καὶ ὅλην τὴν ΑΧ ἕξομεν τοιούτων ξδ κ, οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ εὐθεῖα ζ νξ. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΑ ὑποτείνουσα ἔσται τῶν αὐτων ξδ νβ ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΝΑ εὐθεῖα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιδ μδ, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιδ ϛ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΑΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. καὶ ἡ ὑπὸ ΝΑΧ ἄρα γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν ιδ Ϛ, οἵων δʼαἱ δ᾿ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ζ γ. τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΕ γωνία μα λγ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΝΕ γωνία τῆς φαινομένης παρόδου μοιρῶν ἔσται λδ λ, ἃς προηγεῖτο τοῦ ἀπογείου κατὰ τὴν α΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστήρ. πάλιν ἐκκείσθω ἡ ὁμοία τῆς β΄ ἀκρωνύκτου καταγραφή. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΒΘΕ γωνία τῆς μέσης τοῦ ἐπικύκλου παρόδου, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶ μ ια, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ΧΘΝ γωνία π κβ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων π κβ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ??θ λη. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ ιούτων ἐστὶν οζ κϚ, οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν ??α μα· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα Ϛ, ἡ δὲ ∠Β ὑποτείνουσα ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται γ νβ, ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ λε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ ,ἔσται καὶ αὕτη μήκει τῶν αὐτῶν νθ νγ. κατὰ ταῦτα δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν ΘΦ τῇ ΦX ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΝΧ τῆς ∠Φ διπλῆ ,καὶ ἡ ΒΧ ὅλη ἔσται τοιούτων ξδ κη, οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ εὐθεῖα ζ μδ. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ἔσται ξδ νς . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιδ ιθ, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιγ μβ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶ ιγ μβ, οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ϛ να. τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΘΕ γωνία μ ια· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΝΒ γωνία τῆς φαινομένης παρόδου τῶν αὐτῶν ἐστιν λγ κ. τοσαύτας ἄρα μοίρας ὑπολειπόμενος ἐφαίνετο τοῦ ἀπογείου κατὰ τὴν β΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστήρ. ἐδέδεικτο δὲ καὶ ἐπὶ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου προηγούμενος τοῦ ἀπογείου μοίρας λδ λ ὅλη ἄρα ἡ ἀπὸ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν β΄ διάστασις συνάγεται μοιρῶν ξζ ν συμφώνως ταῖς ὑπὸ τῶν τηρήσεων κατειλημμέναις . ἐκκείσθω δὴ ὡσαύτως καὶ ἡ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου καταγραφή. ἐπεὶ οὖν καὶ ἐνταῦθα ἡ ὑπὸ ΓΘΖ γωνία τῆς ὁμαλῆς τοῦ ἐπικύκλου παρόδου, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν μδ κα, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων πη μβ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων πη μβ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢α ιη. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν πγ νγ, οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν πε μθ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα ϛ, ἡ δὲ ∠Γ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται δ ια U+2220΄, ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ ιζ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Γ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΦ τετράγωνον ,ἕξομεν καὶ ταύτην μήκει τῶν αὐτῶν νθ να. πάλιν δʼ, ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΦΘ τῇ ΦΧ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΝΧ τῆς ∠Φ διπλῆ ,καὶ λοιπὴν τὴν ΧΝ ἕξομεν τοιούτων νε λδ, οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ εὐθεῖα η κγ. διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΓΝ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν ἕξομεν νϛ ιβ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΓΝ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιζ νε, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιζ ι, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΘΓΝ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν ιζ ι, οἵων δʼ αἱ δ ὁρθαὶ τξ, τοιούτων η λε. τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΘΖ γωνία μδ κα· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΝΖ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν νβ νς. τοσαύτας ἄρα μοίρας προηγούμενος ἐφαίνετο τοῦ περιγείου κατὰ τὴν γ΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστήρ. ἐδέδεικτο δὲ καὶ ἐπὶ τῆς β΄ ἀκρωνύκτου λειπόμενος τοῦ ἀπογείου μοίρας λγ κ· καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ἀπὸ τῆς β' ἀκρωνύκτου πάλιν ἐπὶ τὴν γʹ συναγόμεναι μοῖραι 𝒢γ μδ σύμφωνοι εὑρέθησαν ταῖς ἐπὶ τῆς β΄ διαστάσεως τετηρημέναις . δῆλον δʼ, ὅτι καί, ἐπειδήπερ ἐπὶ μὲν τῆς ΓΝ εὐθείας θεωρούμενος ὁ ἀστὴρ κατὰ τὴν γ΄ ἀκρώνυτκον ἐπεῖχεν τὰς τετηρημένας τοῦ Τοξότου μοίρας β λδ ,ἡ δὲ ὑπὸ ΓΝΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ ἐδείχθη τοιούτων νβ νς, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, καὶ τὸ μὲν περίγειον τῆς ἐκκεντρότητος τὸ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον ἐπεῖχεν Αἰγόκερω μοίρας κε λ, τὸ δʼ ἀπόγειον τὰς κατὰ διάμετρον τοῦ Καρκίνου μοίρας κε λ. κἂν γράφωμεν δὲ περὶ τὸ Γ κέντρον τὸν ΚΛΜ ἐπίκυκλον τοῦ τοῦ Ἄρεως καὶ ἐκβάλωμεν τὴν ΘΓ εὐθεῖαν, ἕξομεν ἐν τῷ χρόνῳ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μέσην πάροδον τοῦ ἐπικύκλου μοιρῶν ρλε λθ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΘΖ γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἐδείχθη μοιρῶν μδ κα, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Μ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μέσην τοῦ ἀστέρος πάροδον, τουτέστιν τὴν ΜΚ περιφέρειαν, μοιρῶν ροα κε διὰ τὸ τῆς ὑπὸ ΘΓΝ γωνίας δεδειγμένης τοιούτων η λε, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, πρὸς τῷ κέντρῳ τε οὔσης τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὴν μὲν ΚΛ περιφέρειαν τὴν ἀπὸ τοῦ Κ ἀστέρος ἐπὶ τὸ Λ περίγειον τῶν αὐτῶν γίνεσθαι μοιρῶν η λε, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Μ ἀπογείου ἐπὶ τὸν κατὰ τὸ Κ ἀστέρα τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον, ὡς πρόκειται, ροα κε. καὶ γέγονεν ἡμῖν μετὰ τῶν ἄλλων δῆλον, ὅτι κατὰ τὸν τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου χρόνον, τουτέστιν τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ ιβ΄ εἰς τὴν ιγ΄ πρὸ β ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου, ὁ τοῦ Ἄρεως ἀστὴρ κατὰ μὲν τὸ καλούμενον μῆκος ἀπεῖχε μέσως τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μοίρας ρλε λθ, κατὰ δὲ τὴν ἀνωμαλίαν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ροα κε· ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.