Ι΄.

η΄. Ἀπόδειξις τῆς τοῦ ἐπικύκλου τοῦ τοῦ Ἄρεως πηλικότητος. Ἐφεξῆς δʼ ὄντος καὶ τὸν τῆς πηλικότητος τοῦ ἐπικύκλου λόγον ἀποδεῖξαι ἐλάβομεν εἰς τοῦτο τήρησιν, ἣν διωπτεύσαμεν μετὰ γ ἔγγιστα ἡμέρας τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου, τουτέστιν τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ ιε΄ εἰς τὴν ις΄ πρὸ τριῶν ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου, ἐπειδήπερ ἐμεσουράνει κατὰ τὸν ἀστρολάβον ἡ κ΄ μοῖρα τῶν Χηλῶν τοῦ ἡλίου κατ μέσην πάροδον ἐπέχοντος τότε Διδύμων μοίρας ε κζ. τοῦ μὲν οὖν ἐπὶ τοῦ Στάχυος διοπτευομένου πρὸς τὴν οἰκείαν θέσιν ὁ τοῦ Ἄρεως ἐφαίνετο ἐπέχων τοῦ Τοξότου μοῖραν α καὶ γ πεμπτημόρια, κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν χρόνον καὶ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἀπ- έχων ἐφαίνετο εἰς τὰ ἑπόμενα τὴν αὐτὴν μίαν μοῖραν καὶ γ πεμπτημόρια. καὶ ἦν ἡ μὲν μέση πάροδος τότε τῆς σελήνης περὶ Τοξότου μοίρας δ κ, ἡ δʼ ἀκριβὴς περὶ Σκορπίου μοίρας κθ κ, ἐπειδήπερ καὶ κατὰ τὴν ἀνωμαλίαν ἀπεῖχεν τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας 𝒢β, ἡ δὲ φαινομένη περὶ τὴν ἀρχὴν τοῦ Τοξότου, ὡς καὶ ἐντεῦθεν ἐπέχειν τότε συμφώνως τὸν τοῦ Ἄρεως, καθάπερ καὶ διωπτεύετο, Τοξότου μοῖραν α λς καὶ διεστάναι δηλονότι τοῦ περιγείου εἰς τὰ προηγούμενα μοίρας νγ νδ. περιέχονται δὲ καὶ ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς τε γ΄ ἀκρωνύκτου καὶ ταύτης τῆς τηρήσεως μήκους μὲν μοῖρα α λβ, ἀνωμαλίας δὲ μοῖρα α κα ἔγγιστα· ἃς ἐὰν προσθῶμεν ταῖς κατὰ τὴν ὑποκειμένην γ΄ ἀκρώνυκτον ἀποδεδειγμέναις ἐποχαῖς, ἕξομεν καὶ ἐν τῷ χρόνῳ ταύτης τῆς τηρήσεως ἀπέχοντα τὸν τοῦ Ἄρεως μήκους μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μοίρας ρλζ ια, ἀνωμαλίας δὲ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ροβ μς. τούτων οὖν ὑποκειμένων ἔστω ὁ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου φέρων ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠καὶ διάμετρον τὴν Α∠Γ, ἐφʼ ἧς τὸ μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ὑποκείσθω τὸ Ε, τὸ δὲ τῆς μείζονος ἐκκεντρότητος τὸ Ζ. καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β τοῦ ΗΘΚ ἐπικύκλου διήχθωσαν ἥ τε ΖΚΒΗ καὶ ἡ ΕΘΒ καὶ ἔτι ἡ ∠Β, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τῶν ∠καὶ Ε σημείων ἐπὶ τὴν ΖΒ ἥ τε ΕΛ καὶ ἡ ∠M. ὑποκείσθω δὲ καὶ ὁ ἀστὴρ κατὰ τὸ Ν σημεῖον τοῦ ἐπικύκλου, καὶ ἐπιζευχθεισῶν τῆς τε ΕΝ καὶ τῆς ΒΝ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΕΝ ἐκβληθεῖσαν ἀπὸ τοῦ Β ἡ ΒΞ. ἐπεὶ τοίνυν ὁ ἀστὴρ ρλζ ια μοίρας ἀπέχει τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου, ὥστε καὶ τὴν ὑπὸ ΒΖΓ γωνίαν, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων εἶναι μβ μθ, οἵων δʼ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων πε λη, εἴ ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Μ περιφέρεια τοιούτων πε λη, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΔΖΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢δ κβ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Μ ἔσται τοιούτων πα λδ, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΖΜ τῶν αὐτῶν πη α ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ μεταξὺ τῶν κέντρων ϛ, ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Μ ἔσται δ ε, ἡ δὲ ΖΜ ὁμοίως δ κδ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Μ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον ,ἔσται καὶ ἡ ΒΜ εὐθεῖα τῶν αὐτῶν νθ νβ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΖΜ τῇ ΜΛ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΕΛ τῆς ∠Μ διπλῆ ,καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ΒΛ ἔσται νε κη, ἡ δὲ ΕΛ τῶν αὐτῶν η ι· . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΕΒ ὑποτείνουσα νς δ. καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΒ εὐθεῖα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΛ ἔσται ιζ κη, ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιϛ μδ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΕΛ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιϚ μδ, οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΞ γωνία, ἣν ἐφαίνετο προηγούμενος ὁ τοῦ Ἄρεως ἀστὴρ τοῦ Γ περιγείου, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ὑπόκειται νγ νδ, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ρ μη, τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΒ γωνία ρβ κβ διὰ τὸ ἴσην αὐτὴν εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΖΒΕ δεδειγμένῃ τῶν αὐτῶν ιϛ μδ καὶ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ ὑποκειμένῃ τῶν αὐτῶν πε λη, εἴη ἂν καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ὑπὸ ΒΕΞ γωνία τῶν αὐτῶν ε κϛ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΒΞ περιφέρεια τοιούτων ε κϚ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΕΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ· διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΒΞ εὐθεῖα τοιούτων ε μα, οἵων ἐστὶν ἡ ΚΒ ὑποτείνουσα ρκ. καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΒ ἐδείχθη νϛ δ, ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ ΒΞ ἔσται β λθ. ὁμοίως, ἐπειδὴ τὸ Ν σημεῖον ἀπεῖχεν τοῦ μὲν Η ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ροβ μϛ, τοῦ δὲ περιγείου μοίρας ζ ιδ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΝ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ζ ιδ, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιδ κη. τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία ιϚ μδ· καὶ λοιπὴ μὲν ἄρα ἔσται ἡ ὑπὸ ΝΒΘ γωνία β ιϚ, ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΒ ὅλη τῶν αὐτῶν ζ μβ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΞΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ζ μβ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΝΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, αὐτὴ δὲ ἡ ΒΞ εὐθεῖα τοιούτων η γ, οἵων ἐστὶν ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα ρκ. καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΒΞ εὐθεῖα β λθ, ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ, τοιούτων καὶ ἡ ΒΝ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἔσται λθ λ ἔγγιστα· καὶ λόγος ἄρα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ λθ λ· ὅπερ προέκειτο εὑρεῖν.