ιβ΄.

Τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἐξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ PΣΤ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΒΗ∠, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΗΓ. καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΗΓ, καὶ διῃρήσθω ἑκάτερον τῶν ΑΗ, ΗΓ τεταρτομορίων εἰς τὰ ζῳδία κατὰ τὰ Θ, Κ, Λ, Μ· λέγω, ὅτι αἱ ΑΘ, ΘΚ, ΚΗ, ΗΛ, ΛΜ, ΜΓ ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ ΑΘ, ΓΜ, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΘΚ, ΛΜ, ἐν ἐλαγίστῳ δὲ αἱ ΚΗ, ΗΛ, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΜΓ. ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΛΗ. γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Μ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΘ, ΞΚ, ΟΛ, ΠΜ, διὰ δὲ τῶν Θ, Κ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τοῦ ΡΣ οἱ ΣΘΦ, ΤΚΧ, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ΑΡ, ΣΘΦ, ΤΚΧ τῶν παραλλήλων κύκλων ὁμοίας εἶναι, τουτέστιν οὕτω γεγράφθωσαν, ὡς τὸ ἀπὸ τοῦ Ρ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Α, Ν μέρη ἀσύμπτωτον εἶναι τοῖς διὰ τῶν Σ, Τ ἡμικυκλίοις ὡς ἐπὶ τὰ Χ, Φ. αἱ μὲν ΝΘ, ΞΥ ΒΦ ἀπεναντίον εἰσίν· καὶ ἄρα αἱ ΥΚ, ΦΧ. ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΦΝ διέρχεται, ἐν τούτῳ τότε Υ τὴν ΥΞ διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν ΦΒ διαπορεύεται. καὶ ἐπεί, ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Θ τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΥΑ δύνει, ἐν ἄρα τότε Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν Β Φ, ἡ Θ Α δύνει. πάλιν, ἐπεὶ ἐν ᾧ τότε Κ τὴν ΚΞ διέρχεται καὶ τὸ Χ τὴν ΧΒ, ἡ ΚΑ δύνει, ἐν ᾧ ἄρα τὸ Κ τὴν Κ διέρχεται, τουτέστι τὸ τὴν ΧΦ ὅμοιαι γάρ εἰσιν· ἡ ΚΘ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν τὸ Η τὴν ΗΧ διέρχεται, ἡ ΗΚ δύνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρα μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΡΣΤ ἐφάπτεται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεται, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΘ, ΘΚ, Κ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ Β Η ∠,διὰ δὲ τῶν Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ ΣΦ, ΤΧ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΡΣΤ κύκλου, οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ ἐχήπτετο, ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν Σ, Τ ἐπαφῶν ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ Κ, Θ μέρη τῷ ΡΑΒ ἡμικυκλίῳ τοῦ ὁρίζοντος, ἐφʼ οὗ ἐστιν ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΦ περιφέρεια τῆς ΦΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῆς ΧΗ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται, ἤπερ τὸ Χ τὴν ΦΧ διέρχεται· ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ τὸ Χ τὴν ΦΧ ἤπερ Η τὸ τὴν ΗΧ· ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται, ἡ ΘΑ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Χ τὴν ΧΦ διέρχεται, ἡ ΘΚ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Η τὴν ΗΧ διέρχεται, ἡ ΗΚ δύνει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ μὲν ΑΘ τῆς ΚΘ δύνει, ἡ δὲ ΘΚ τῆς ΚΗ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. μετακεκινήσθω γὰρ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω· ἔξει ἄρα θέσιν ὁ ζῳδιακὸς τὴν ΩΒΨ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ τῇ ΗΛ ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Ω Β τῇ ΒΨ. καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗ∠, καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΚ, ΨΛ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ω Κ τῷ ΨΛ ὥστε καὶ ἡ ΒΞ τῇ ΒΟ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα ἐπὶ τὸ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ο ἐπὶ τὸ Ψ. ὥστε καὶ ἡ ΩΞ περι- φέρεια ἴση ἐστὶ τῇ Ο Ψ. ἐν ἄρα τὸ Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΞΩ διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ψ τὴν ΨΟ. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΩ διέρχεται, ἡ ΒΩ δύνει· ἐν ᾧ δὲ τὸ Ψ τὴν ΟΨ διέρχεται, ἡ ΒΨ δύνει. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ αἱ ΩΒ, Β περιφέρειαι δύνουσιν· ὥστε καὶ αἱ ΚΗ, ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν· ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ, ΛΜ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΑΘ, ΜΓ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ μὲν ΑΘ τῆς ΘΚ δύνει, ἡ δὲ ΘΚ τῆς Κ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει καὶ ἡ μὲν ΓΜ τῆς ΜΛ, ἡ δὲ ΜΛ τῆς ΛΗ. τὰ αὐτὰ δειχθήσεται καὶ ὅταν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ᾖ, καὶ γραφομένων διὰ τῶν Κ, Θ μεγίστων κύκλων καὶ διὰ τοῦ πόλου . τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν αἰ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἱσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀλλήλαις ἀνατέλλουσιν.