ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

ιθ. Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, Η∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ, Η∠· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίνεται ρ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνονται μ. τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται βφ. ταῦτα εἰκοσάκι καὶ ἑπτάκι· γίγνεται μ ζφ. τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα· γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου. Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃν η πρὸς ζ. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ. τουτέστιν ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέν|τρου τοῦ κύκλου· καὶ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ Α∠. ἔσται ἄρα ἡ Α∠ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠, ΑΓ· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β. λόγος ἄρα τῆς Α∠ πρὸς ∠Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃ τοῦ μθ πρὸς ιϛ· καὶ μήκει λόγος τῆς Α∠ πρὸς ∠Β, ὃν ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς Β∠ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς ∠Α λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.