ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

λβ. Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ |ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Β καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ. τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, τὸ Η, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ, τὸ δὲ τοῦ Μ. καὶ τοῦτο γιγνέσθω, ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται τοῦ Κ. γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχοτομίας ἐπεζεύχθωσαν· τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια· τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν· τὰ ἄρα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ. ἔστω αὐτοῖς ἴσα τὰ ΛΝ. καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως. τὰ ἄρα προειρημένα, οἷς ἴσα ἐστὶ τὰ ΛΝ, τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονά ἢ τετραπλάσια, τὸ δὲ ΛΝ τοῦ Μ μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ὥστε τὰ ἔσχατα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ. ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων, τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γ΄τοῦ Μ, τὸ δὲ γ΄ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ. τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον. τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ· τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον· πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τρι| γώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον. ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον προσθῶμεν, ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων· ἐὰν μέντοι τμῆμα ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος, τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ μέχρι τῆς βάσεως, καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον. Λῆμμα. Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ, τοῖς δὲ Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ τὸ ΒΓ, τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον ἢ τριπλάσιον ἔστω· πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ, τουτέστι τὸ Η μετὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ, τοῦ ΑΒ, τουτέστι τοῦ Η, μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον; ἔστω γὰρ τὸ Α∠ τοῦ ∠Γ τριπλάσιον· τὸ ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ∠Γ. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ Α∠ ἐπίτριτόν ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.