ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

θ. |Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου, ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α∠. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒ∠ μονάδων κ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδος α, καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ξγ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἔσται μονάδων ϛτ. τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ Α∠ · ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ Α∠ ἄρα ἐφʼ ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτὸ μονάδων αφοε· ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου. τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζU+2220δ΄ η΄ ιϛ΄. δεήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· ἔστι δὲ λθU+2220η΄ ιϛ΄.