ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

100 ξβ΄. Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖξόν ἐστιν. Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέδρου δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέωτε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ (ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ γὰρ τετραπλάσια κʼ τρίγωνα τοῖς η΄ ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόηολον πλευράν), δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ (προδέδεικται γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν Ϛ΄ πρὸς α’), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ· μείζων ἅρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς ΘΗ τοῦ γ΄ τῆς ΚΛ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΚΛ, καὶ ἔστιν κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.