ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

99 ξα΄. Τὸ ὀκτέδρον τοῦ κύβου μεῖζόν ἐστιν. Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, κύθου δὲ τετράγωνον τὸ ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάθετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἓξ τετραγώνοις τοῖς ΖΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν διὰ τὸ α’ λῆμμα καθόλου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευράς τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τσῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τὸ ἀπὸ βΓ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἢ ς΄ οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ δ΄. τέσσαρα ἄρα πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δμὰ τὸ β’ λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε ὃν γʼ πρὸς α’, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠, λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ ὃν α’ πρὸς β'. τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν Ϛ΄ πρὸς β΄ διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ ὃν α’ πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν ὃν θ' πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ τοῦ γʼ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε λόγος ἐστὶν ὃν α’ πρὸς θ΄ (τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει ἐνναπλάσια ἐστιν)· καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ τρίτου οὖν τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐστὶν ὃν α΄ πρὸς νδ΄ ἐδείχθη δὲ ὅτι λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ· διʼ ἴσου ἄρα λϚ΄ πρὸς α’ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ∠Ε· καὶ μήκει ἄρα Ϛ΄ πρὸς α΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠Ε. λόγος δὲ Ϛ΄ τετραγώνων τῶν ΖΗ πρὸς α΄ ὃν Ϛ΄ πρὸς α΄ καὶ ἔστιν τὰ Ϛ΄ τετράγωνα ἴσα η΄ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ η΄ ἄρα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΖΗ τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠~. καὶ ἔστιν ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφ᾿ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ∠Ε, κύβος δὲ τὸ ΖΗ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΘΖ· μεῖζον ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου.