ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

4 α΄. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι, πολυγωνότερον δὲ τὸ ∠ΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ∠ΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ. Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ Θ∠ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ Ε∠Ζ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ∠Ζ τὴν τοῦ ∠ΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ∠Ζ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι), ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ∠Λ (ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας). κείσθω τῇ ∠Λ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον), ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῆς τοῦ ∠ΕΖ περιμέτρου; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δ΄ ὀρθάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ, πρὸς τὴν ∠Ζ, αἱ δ΄ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ γωνίαν· δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν Λ∠, τουτέστιν πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ. ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ (τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λήμμασιν δέδεὶκται)· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ∠ΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ἴση τῇ πρὸς τῷ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ Θ∠Λ ἐλάσσων. ἔστω τῇ ὑπὸ Θ∠Λ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ· καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Λ τῇ ΚΜ· καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ∠ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν τῶν εἰρημένων χμρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα· μεῖζον ἄρα τὸ ∠ΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ.