ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

5 β΄. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ∠ΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου. Εἰλήφθω τοῦ μὲν ∠ΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ, τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρ τὸ Η, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμο τῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Θ∠, καὶ κάθε ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν μείζ ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγόνου περίμετρος τῆς τοῦ ∠. κύκλου περιφερείας, ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρ Ἀρχιμήδει ὑπόκειται ,ἡ δὲ τ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγόνου πε μέτρῳ, καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια πολύγωνα· μείζων ἄρα ἡ Λ∠ τῆς ΑΚ. καὶ ἔστιν ὁμο τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘ∠ τριγώνῳ (καὶ γὰρ τὰ ὅλα τ λύγωνα ὅμοιά ἐστι)· μείζων ἄρα καὶ ἡ Θ∠ τῆς ΗΚ. δὲ ἡ τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώ περιμέτρῳ μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ∠Θ καὶ τῆς τοῦ ∠κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ Α. πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ∠Θ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ∠ΕΖ κύκ. (καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκ περιφερείας δέδεικται), τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πο γώνου, καὶ τὰ ἡμίση· μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ τ λυγώνου.