ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

50 ιθ΄. Η ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται . ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἐνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα. Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ, ἔσονται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠Ε ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. ὅταν δὲ ᾖ ὡς ὁ ∠πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν ∠Ε ὑπεροχή πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ἡ μεσότης ἐστίν ἁρμονική. καὶ δῆλον ὅτι λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς, μονάδων ὑποτεθεισῶν ὁμοίως τῶν Α Β Γ, τοῖς Ϛ΄ γ΄ β΄.