ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

55 κβ΄. Ἡ ἐνάτη μεσότης δι᾿ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠,ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἐνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ ∠πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν ∠Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τῆς ἐνάτης μεσότητος ἴδιόν ἐστιν. καὶ περιέχουσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ δ΄ γ΄ β΄, μονάδων ὑποκειμένων ὁμοίως τῶν Α Β Γ.