ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

62 κζ΄. Λέγω δʼ ὅτι, ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλʼ αἱ ἐντὸς ἐλάσσονες ἔσονται. Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάοσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ∠Ε ΕΗ· λέγω ὅτι ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ. Ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ, μείζων ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΓ. τῆς δʼ ὑπὸ ΒΓΑ μείων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α τῆς ὑπὸ ΖΑ∠, ὥστε καὶ ἡ ΑΖ μείζων τῆς Ζ∠. ἐπεὶ μείζων μὲν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ, ἡ δʼ ὑπὸ ΒΓΑ διὰ τὴν ὑπόθεσιν οὐκ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΑΒΖ, ὥστε καὶ ἡ ΑΒ μείζων τῆς ΑΖ. ἡ δὲ ΑΖ τῆς Ζ∠ ἐδείχθη μείζων· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ∠Ζ καὶ πολλῷ μᾶλλον τῆς ∠Ε μείζων. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ΒΓ μείζων τῆς ΕΗ· ἐλάσσονες ἄρα εἰσὶν αἱ ΗΕ∠ τῶν ΑΒΓ.