ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

7 Ἔστω γὰρ. πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν. πλευρὰν τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε ὁποσαγώνου, ἡ δ᾿ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση· μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου.