ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

8 Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων· δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι δέδεικται. περιγεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον μεῖζον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου. Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι τοῦ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.