ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

82 μϚ΄. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ A △,Β Γ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις τε καὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας. Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ∠Ζ ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ Α∠ ΒΓ, αἱ δ΄ ἄρα αἱ ΑΗ Η△ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τοῦτο γάρ φανερόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ Α△ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ∠Ζ ἐστὶν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ Η∠Ζ ἐναλλάξ. ἡ δέ ΑΗ βάσις τῇ Η∠· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ∠ΗΖ. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗ∠ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΜ∠, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ ἴσαι ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ Α∠ ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις.