Section 15

ἀλλὰ ταῖς εἰσαγομέναις μεσότησι τῶν ὑποκειμένων ἀριθμῶν χώρας οὐ διδόντων, ἐδέησε μείζονας ὅρους λαβεῖν ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις· καὶ λεκτέον τίνες εἰσὶν οὗτοι. πρότερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων· ὧν τὴν μὲν ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν ἴσῳ δʼ ὑπερεχομένην ἀριθμητικὴν οἱ νῦν καλοῦσι, τὴν δὲ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην ὑπεναντίαν. ὅροι δʼ εἰσὶ τῆς μὲν ἀριθμητικῆς σʼ καὶ θʼ καὶ ιβʼ· τὰ γὰρ ἐννέα τῷ ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν τῶν ἓξ ὑπερέχει καὶ τῶν ιβʼ λείπεται· τῆς δʼ ὑπεναντίας σʼ ηʼ ιβʼ· τὰ γὰρ ὀκτὼ δυσὶ μὲν τῶν σʼ ὑπερέχει τέτταρσι δὲ τῶν ιβʼ λείπεται, ὧν τὰ μὲν δύο τῶν ἓξ τὰ δὲ τέσσαρα τῶν δώδεκα τριτημόριόν ἐστι. συμβέβηκεν οὖν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τὸ μέσον ὑπερέχεσθαι καὶ ὑπερέχειν, ἐν δὲ τῇ ὑπεναντίᾳ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ἀποδεῖν τὸ δʼ ὑπερβάλλειν ἐκεῖ μὲν γὰρ τὰ τρία τοῦ μέσου τρίτον ἐστὶ μέρος, ἐνταῦθα δὲ τὰ δʼ καὶ τὰ βʼ τῶν ἄκρων ἑκάτερον ἑκατέρου· ὅθεν ὑπεναντία κέκληται. ταύτην δʼ ἁρμονικὴν ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῖς ὅροις τὰ πρῶτα σύμφωνα παρέχεται, τῷ μὲν μεγίστῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ πασῶν τῷ δὲ μεγίστῳ πρὸς τὸν μέσον τὸ διὰ πέντε, τῷ δὲ μέσῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων ὅτι τοῦ μεγίστου τῶν ὅρων κατὰ νήτην τιθεμένου τοῦ δʼ ἐλαχίστου καθʼ ὑπάτην, ὁ μέσος γίγνεται ὁ κατὰ μέσην, πρὸς μὲν τὸν μέγιστον τὸ διὰ πέντε ποιοῦσαν πρὸς δὲ τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων ὥστε γίγνεσθαι τὰ ὀκτὼ κατὰ τὴν μέσην τὰ δὲ δώδεκα κατὰ νήτην τὰ δʼ ἓξ καθʼ ὑπάτην.