Section 14

τοιαύτας δὲ δυνάμεις τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν ἐχόντων, ἴδιον τῷ τελευταίῳ συμβέβηκε, τῷ κζʼ, τὸ τοῖς πρὸ αὐτοῦ συντιθέμενον ἴσον εἶναι πᾶσιν, ἔστι δὲ καὶ περιοδικὸς σελήνης. καὶ τῶν ἐμμελῶν διαστημάτων οἱ Πυθαγορικοὶ τὸν τόνον ἐν τούτῳ τῷ ἀριθμῷ τάττουσι διὸ καὶ τὰ τρισκαίδεκα λεῖμμα καλοῦσιν ἀπολείπει γὰρ μονάδι τοῦ ἡμίσεος. ὅτι δʼ οὗτοι καὶ τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους περιέχουσι, ῥᾴδιον καταμαθεῖν. καὶ γὰρ διπλάσιος λόγος ἐστὶν ὁ τῶν δύο πρὸς τὸ ἓν ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν, καὶ ἡμιόλιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν τριῶν ἐν ᾧ τὸ διὰ πέντε, καὶ ἐπίτριτος ὁ πρὸς; τὰ τρία τῶν τεσσάρων ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων, καὶ τριπλάσιος ὁ πρὸς τὰ τρία τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ τετραπλάσιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν ηʼ ἐν ᾧ τὸ δὶς διὰ πασῶν· ἔνεστι δὲ καὶ ἐπόγδοος ὁ πρὸς τὰ ὀκτὼ τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ τονιαῖον. ἂν τοίνυν ἡ μονὰς ἐπίκοινος οὖσα καὶ τοῖς ἀρτίοις συναριθμῆται καὶ τοῖς περιττοῖς, ὁ μὲν ἄπας ἀριθμὸς τὸ τῆς δεκάδος παρέχεται πλῆθος· οἱ γὰρ ἀπὸ μονάδος μέχρι τῶν δέκα συντιθέμενοι πεντεκαίδεκα, τρίγωνον ἀπὸ πεντάδος· ὁ δὲ περιττὸς τὸν τεσσαράκοντα κατὰ σύνθεσιν μὲν ἐκ τῶν δεκατριῶν καὶ τῶν κζʼ γεννώμενον, οἷς τὰ μελῳδούμενα μετροῦσιν εὐσήμως οἱ μαθηματικοὶ διαστήματα, τὸ μὲν δίεσιν τὸ δὲ τόνον καλοῦντες· κατὰ τὸν πολλαπλασιασμὸν δὲ τῇ τῆς τετρακτύος δυνάμει γιγνόμενον τῶν γὰρ πρώτων τεσσάρων καθʼ αὑτὸν ἑκάστου τετράκις λαμβανομένου γίγνεται τέσσαρα καὶ ηʼ καὶ ιβʼ καὶ ισʼ · ταῦτα τὸν μʼ συντίθησι, περιέχοντα τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους· τὰ μὲν γὰρ ισʼ ἐπίτριτα τῶν δεκαδύο ἐστὶν τῶν δʼ ὀκτὼ διπλάσια, τῶν δὲ τεσσάρων τετραπλάσια· τὰ δὲ ιβʼ τῶν ὀκτὼ ἡμιόλια, τῶν δὲ τεσσάρων τριπλάσια οὗτοι δʼ οἱ λόγοι τὸ διὰ τεσσάρων καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν περιέχουσιν. ἴσος γε μήν ἐστιν ὁ τῶν τεσσαράκοντα δυσὶ τετραγώνοις καὶ δυσὶ κύβοις ὁμοῦ λαμβανομένοις· τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ κζʼ κύβοι καὶ τετράγωνοι μʼ γίγνονται συντεθέντες. ὥστε πολὺ τῆς Πυθαγορικῆς τὴν Πλατωνικὴν τετρακτὺν ποικιλωτέραν εἶναι τῇ διαθέσει καὶ τελειοτέραν.