Section 18

Ἀποδεδειγμένου δὲ τούτου, σκοπῶμεν εἰ δίχα τέμνεσθαι πέφυκε τὸ ἐπόγδοον· εἰ γὰρ μὴ πέφυκεν, οὐδʼ ὁ τόνος. ἐπεὶ δὲ πρῶτοι τὸν ἐπόγδοον λόγον ὁ θʼ καὶ ὁ ηʼ ποιοῦντες οὐδὲν διάστημα μέσον ἔχουσι, διπλασιασθέντων δʼ ἀμφοτέρων ὁ παρεμπίπτων μεταξὺ δύο ποιεῖ διαστήματα δῆλον ὅτι τούτων μὲν ἴσων ὄντων δίχα τέμνεται τὸ ἐπόγδοον. ἀλλὰ μὴν διπλάσια γίγνεται τῶν μὲν θʼ τὰ ιηʼ τῶν δʼ ηʼ τὰ ισʼ, δέχονται δʼ οὗτοι μεταξὺ τὰ ιζʼ καὶ γίγνεται τῶν διαστημάτων τὸ μὲν μεῖζον τὸ δʼ ἔλαττον· ἔστι γὰρ τὸ μὲν πρότερον ἐφεπτακαιδέκατον τὸ δὲ δεύτερον ἐφεξκαιδέκατον. εἰς ἄνισα τοίνυν τέμνεται τὸ ἐπόγδοον εἰ δὲ τοῦτο, καὶ ὁ τόνος. οὐδέτερον ἄρα γίγνεται διαιρεθέντος αὐτοῦ τῶν τμημάτων ἡμιτόνιον, ἀλλʼ ὀρθῶς ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν λεῖμμα προσηγόρευται. καὶ τοῦτʼ ἐστὶν ὅ φησιν ὁ Πλάτων τὰ ἐπίτριτα τοῖς ἐπογδόοις συμπληροῦντα τὸν θεὸν λείπειν ἑκάστου μόριον αὐτῶν, οὗ λόγος ἐστίν, ὃν ἔχει τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. εἰλήφθω γὰρ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἀριθμοῖς δυσὶ τὸν ἐπίτριτον λόγον περιέχουσι, τοῖς σνσʼ καὶ τοῖς ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο· ὧν ὁ μὲν ἐλάττων, τὰ ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο, κείσθω κατὰ τὸν βαρύτατον τοῦ τετραχόρδου φθόγγον ὁ δὲ μείζων, τὰ σνσʼ, κατὰ τὸν ὀξύτατον· ἀποδεικτέον ὅτι, τούτου συμπληρουμένου δυσὶν ἐπογδόοις, λείπεται διάστημα τηλικοῦτον, ἡλίκον ὡς ἐν ἀριθμοῖς τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ ἔχει πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνῳ ἐπιταθέντος, ὅπερ ἐστὶν ἐπόγδοον, γίγνεται σισʼ· τούτου πάλιν τόνῳ ἄλλῳ ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʼ· ταῦτα μὲν γὰρ ὑπερέχει τῶν σισʼ τοῖς κζʼ, τὰ δὲ σισʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τοῖς εἴκοσι καὶ τέσσαρσιν ὧν τὰ μὲν κζʼ τῶν σισʼ ὄγδοά ἐστι, τὰ δὲ κζʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο. διὸ γίγνεται τῶν τριῶν τούτων ἀριθμῶν ὅ τε μέγιστος ἐπόγδοος τοῦ μέσου καὶ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου· τὸ δʼ ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου διάστημα μέχρι τοῦ μεγίστου, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο μέχρι τῶν σμγʼ, δίτονον ἐκ δυεῖν συμπληρούμενον ἐπογδόων ἀφαιρουμένου δὲ τούτου, περίεστι τοῦ ὅλου διάστημα λοιπὸν τὸ μεταξὺ τῶν σμγʼ καὶ τῶν σνσʼ, τὰ τρισκαίδεκα διὸ καὶ λεῖμμα τοῦτον τὸν ἀριθμὸν ὠνόμαζον. ἐγὼ μὲν οὖν εὐσημότατα δηλοῦσθαι τὴν Πλάτωνος οἶμαι γνώμην ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς.