Section 19

19. Μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ κτλ. p. 162, ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ μείζων ἐστίν, δείξομεν τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ὀρθογώνιόν ἐστι τρίγωνον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν, ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΜΑ· ὥστε ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΚΜΞ. ἀμβλυγωνίου οὖν τριγώνου τοῦ ΚΞΜ ἡ ΚΞ ὑποτείνει τὴν πρὸς τῷ Μ ἀμβλεῖαν γωνίαν· μείζων ἄρα ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνά εἰσιν ὀρθογώνια τὰ ΚΞΝ, ΚΜΛ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Ξ, Μ γωνίας, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ, ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ· ἡ γὰρ ΞΝ τῃ ΜΛ ἴση ἐστὶν ὡς παραλληλογράμμου τοῦ ΜΝ οὖσα ἀπεναντίον, ἡ δὲ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων. καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ μεῖζον· ὥστε καὶ ἡ ΚΝ τῆς ΚΛ μείζων. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων· ἴση δὲ ἡ ΞΝ τῇ ΜΛ· ἐὰν ἄρα τὴν ΜΛ ἐπὶ τὴν ΞΝ ἐφαρμόσωμεν, ἐντὸς πεσεῖται τὸ ΚΜΛ τρίγωνον τοῦ ΚΞΝ τριγώνου, καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ad prop. VII.