Section 21

21. Τὸ αὐτὸ θεώρημα ἔν τισι τῶν ἀντιγράφων εὕρηται οὕτως· τὰ ἴσα μεγέθη ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα καὶ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις κείμενα ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται. ἔστωσαν δύο μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς Α∠ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις ὄντα καὶ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ, Ε∠, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΕΑ τῆς Ε∠, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ∠Α. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ μείζων φανήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕ∠ κύκλος ὁ ΑΕ∠, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ πρὸς ὀρθὰς γωνίας αἱ ΒΘ, ΓΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ, Γ∠ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ΒΘ, ΓΚ, ὡς δείξομεν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ∠ΓΚ ἐστιν ἴση, καὶ βάσις ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Θ τῇ ἀπὸ τοῦ ∠ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστίν· ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΖΘ περιφερείᾳ τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση. ἡ Κ∠ ἄρα περιφέρεια τῆς ΑΖ μείζων ἐστίν. πολλῷ ἄρα μείζων τῆς ΑΖ ἡ ΗΚ∠. ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς ΑΖ βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΗΚ∠ περιφερείας βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ γωνία· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ τῆς ὑπὸ ΑΚΖ μείζων ἐστίν. ἀλλʼ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΕΖ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ὁρᾶται, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΗΕ∠ ἡ Γ∠· μειζων ἄρα ὁρᾶται ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ. ὅτι δὲ ἡ ΒΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΚ, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ἴση ἐστί, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν Α∠ αἱ ΘΒ, ΓΚ, παράλληλοί εἰσιν αἱ ΒΘ, ΓΚ εὐθεῖαι· προσεκβληθεῖσαι παράλληλοι ἔσονται. προσεκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΘΟ, ΚΠ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ μὲν τὰς ΘΟ, ΚΠ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΡΝ, ΡΞ, ἐπὶ δὲ τὴν Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΡΣ ἡ ΡΣ ἄρα δίχα τὴν Α∠ κατὰ τὸ Σ τεμεῖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ὑπόκειται ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΣ τῇ ΣΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΣ τῇ ΝΡ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ΣΓ τῇ ΡΞ ἴση ἐστίν. καί εἰσι πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΘΟ, ΚΠ· αἱ ΘΟ, ΚΠ ἄρα ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ Ρ, καὶ διὰ τοῦτο καί εἰσιν ἴσαι. ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν αἱ ΘΝ, ΚΞ ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ΒΝ, ΓΞ ἴσαι· καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ΘΒ, ΚΓ ἴσαι εἰσίν. Ad prop. VIII.