Section 84

84. Ἄλλως τὸ ν΄. ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ Κ∠, εὐθεῖα δὲ πλαγία ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ∠Κ ἡ ΚΓ καὶ συμβαλλέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν ∠Γ ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα τὸ Ζ, καὶ μετακεκινήσθω τὸ ὄμμα τὸ Ζ καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τὸ Β. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ζ, Β ὁρώμενον ἄνισον φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, Ζ∠, ΚΒ, Β∠, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΚΖ∠ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΚΖ∠, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΓΚΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Η∠. ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚΗΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ὑπὸ ΚΖ∠ τῆς ὑπὸ ΚΗ∠· ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΟΚ φανερὸν τοῦτο· ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΚΗ∠ τῇ ὑπὸ ΚΒ∠, ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν, καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΚΒ∠ μείζων ἐστίν. ἔχομεν γάρ· τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ τὸ ἀντίστροφον· ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, ὡς δείξομεν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΓΚΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒ∠, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΗΚ∠· αἱ ὑπὸ ΓΚΗ ἄρα ΗΚ∠ ταῖς ὑπὸ ΗΚ∠, ΗΒ∠ ἴσαι. ἀλλʼ αἱ ῦπὸ ΓΚΗ, ΒΚ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καὶ αἰ ὑπὸ ΗΚ∠, HΒ∠ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὥστε καὶ αἱ λοιπαί. ὅτι δέ, ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, δέδεικται ἐν τῷ ὑπομνήματι. Ad prop. XLV. S5. Τὸ αὐτὸ τῷ νβ΄. ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ Β∠ καὶ ἐκβεβλήσθω. λέγω, ὅτι καθʼ ὁποιονοῦν τῆς Β∠ μέρος τεθῇ τὸ ὄμμα, τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσα φαίνεται. καί ἐστι αὐτόθεν δῆλον. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ. καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΑΕ, μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΓ. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡσαύτως δέ, κἂν μὲν ἐπὶ τῆς ΒΖ τεθῇ, ἴσα φαίνεται, ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ΒΗ, ἄνισα. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα, ἄνισα φαίνεται.