Section 86

86. Ὅτι δὲ δυνατὸν τέμνεσθαι τὸ ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως ἔσται δῆλον· ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὸ ΑΒ τὸ ΑΘΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΓ καὶ τῷ Β σημείῳ γωνία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒ∠, πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση τῇ Β ἡ Γ. καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ ∠,καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΘΒ, ὅ ἐστι τὸ Ε, ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ε, καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ Ε∠, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἴση ἄρα ἡ Θ∠ τῇ ∠Β. ἡ δὲ ∠Β τῇ ∠Γ· ὥστε ὁ κέντρῳ τῷ ∠,διαστήματι δὲ τῷ ∠Θ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται. Ad prop. XLIX.