Paragraph 47

ἔτι τε τῶν ἀριθμῶν οἱ μέν τινες τέλειοι λέγονται, οἱ δʼ ὑπερτέλειοι, οἱ δʼ ἐλλιπεῖς. καὶ τέλειοι μέν εἰσιν οἱ τοῖς αὑτῶν μέρεσιν ἴσοι, ὡς ὁ τῶν Ϛ΄· μέρη γὰρ αὐτοῦ ἥμισυ γ΄, τρίτον β΄, ἕκτον α΄, ἅτινα συντιθέμενα ποιεῖ τὸν Ϛ΄. γεννῶνται δὲ οἱ τέλειοι τοῦτον τὸν τρό- κον. ἐὰν ἐκθώμεθα τοὺς ἀπὸ μονάδος διπλασίους καὶ συντιθῶμεν αὐτούς, μέχρις οὗ ἂν γένηται πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἀριθμός, καὶ τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν συντιθεμένων πολλαπλασιάσωμεν, ὁ ἀπο- γεννηθεὶς ἔσται τέλειος. οἷον ἐκκείσθωσαν διπλάσιοι α΄ β΄ δ΄ η΄ ιϛ΄. συνθῶμεν οὖν α΄ καὶ β΄· γίνεται γ΄· καὶ τὸν γ΄ ἐπὶ τὸν ὕστερον τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως πολλα- κλασιάσωμεν, τουτέστιν ἐπὶ τὸν β΄· γίνεται Ϛ΄, ὅς ἐστι πρῶτος τέλειος. ἂν πάλιν τρεῖς τοὺς ἐφεξῆς διπλασίους συνθῶμεν, α΄ καὶ β΄ καὶ δ΄, ἔσται ζ΄· καὶ τοῦτον ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν τῆς συνθέσεως πολλαπλασιάσωμεν, τὸν ζ΄ ἐπὶ τὸν δ΄· ἔσται ὁ κη΄, ὅς ἐστι δεύτερος τέλειος· σύγκει- ται ἐκ τοῦ ἡμίσεος τοῦ ιδ΄, τετάρτου τοῦ ζ΄, ἑβδόμου τοῦ δ΄, τεσσαρακαιδεκάτου τοῦ β΄, εἰκοστοῦ ὀγδόου τοῦ α΄. ὑπερτέλειοι δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεθέντα μείζονά ἐστι τῶν ὅλων, οἷον ὁ τῶν ιβ΄· τούτου γὰρ ἥμισύ ἐστιν ϛ΄, τρίτον δ΄, τέταρτον γ΄, ἕκτον β΄, δωδέκατον α΄, ἅτινα συντεθέντα γίνεται ιϛ΄, ὅς ἐστι μείζων τοῦ ἐξ ἀρχῆς, τουτέστι τῶν ιβ΄.