Latin
Lines 1.53-1.54
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.53-54
Not analysed yet
11.
Obiectiones 1, 2, 3, quas contra Euleri demonstrationem primam feci (art. 8.) ,eandem vim contra hanc methodum habent, ea tamen differentia, vt obiectio secunda, cui Euleri demonstratio tantummodo in quibusdam casibus specialibus obnoxia erat, praesentem in omnibus casibus attingere debeat. Scilicet a priori demonstrari potest, etiamsi formula detur, quae coëfficientem M′ rationaliter per u′ et coëfficientes in Z exprimat, hanc pro pluribus valoribus ipsius u′ necessario indeterminatam fieri debere; similiterque formulam, quae coëfficientem M′ ′ per u′ ′ exhibeat, indeterminatam fieri pro quibusdam valoribus ipsius u′ ′ etc. Hoc luculentissime perspicietur, si aequationem quarti gradus pro exemplo assumimus. Ponamus itaque m=4 ,sintque radices aequationis Z=0 ,hae α, β, γ, δ . Tum patet aequationem U=0 fore sexti gradus ipsiusque radices -(α+β) ,-(α+γ) ,-(α+δ) ,-(β+γ) ,-(β+δ) ,-(γ+δ) . Aequatio U′ =0 autem erit decimi quinti gradus, et valores ipsius u′ hi 2α+β+γ ,2α+β+δ ,2α+γ+δ ,2β+α+γ ,2β+α+δ ,2β+γ+δ ,2γ+α+β ,2γ+α+δ ,2γ+β+δ ,2δ+α+β ,2δ+α+γ ,2δ+β+γ ,α+β+γ+δ ,α+β+γ+δ ,α+β+γ+δ . Iam in hac aequatione, quippe cuius gradus est impar, subsistendum erit, habebitque ea reuera radicem realem α+β+γ+δ (quae primo coëfficienti in Z mutato signo aequalis adeoque non modo realis sed etiam rationalis erit, si coëfficientes in Z sunt rationales). Sed nullo negotio perspici potest, si formula detur, quae valorem ipsius M′ per valorem respondentem ipsius u′ rationaliter exhibeat, hanc necessario pro u′ =α+β+γ+δ indeterminatam fieri. Hic enim valor ter erit radix aequationis U′ =0 ,respondebuntque ipsi tres valores ipsius M′ ,puta (α+β)(γ+δ) ,(α+γ)(β+δ) et (α+δ)(β+γ) ,qui omnes irrationales esse possunt. Manifesto autem formula rationalis neque valorem irrationalem ipsius M′ in hoc casu producere posset, neque tres valores diuersos. Ex hoc specimine satis colligi potest, methodum clar. de Foncenexii neutiquam esse satisfacientem, sed si ab omni parte completa reddi debeat, multo profundius in theoriam eliminationis inquiri oportere.