Latin

Lines 1.55-1.4

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.55-4

Not analysed yet

12.
Denique ill. LaGrange de theoremate nostro egit in comm. Sur la forme des racines imaginaires des equations, Nouv. Mem. de l' Acad. de Berlin 1772. p. 222 sqq. Magnus hic geometra imprimis operam dedit, defectus in Euleri demonstratione prima supplere et reuera praesertim ea, quae supra (art. 8.) obiectionem tertiam et quartam constituunt, tam profunde perscrutatus est, vt nihil amplius desiderandum restet, nisi forsan in disquisitione anteriori supra theoria eliminationis (cui inuestigatio haec tota innititur) quaedam dubia superesse videantur. Attamen obiectionem primam omnino non attigit, quin etiam tota disquisitio superstructa est suppositioni, quamuis aequationem m ti gradus reuera m radices habere.
Probe itaque iis, quae hucusque exposita sunt, perpensis, demonstrationem nouam theorematis grauissimi ex principiis omnino diuersis petitam peritis haud ingratam fore spero, quam exponere statim aggredior.
13.
LEMMA. Denotante m numerum integrum positiuum quemcunque, functio sin &phi; . x m -sin m&phi; . r m-1 x+sin(m-1)&phi; . r m diuisibilis erit per xx-2cos &phi; . rx+rr .
Demonstr. Pro m=1 functio illa sit =0 adeoque per quemcunque factorem diuisibilis; pro m=2 quotiens sit sin &phi; ,et pro quouis valore maiori quotiens erit sin &phi; . x m-2 +sin 2&phi; . rx m-3 +sin3&phi; . rrx m-4 +etc. +sin(m-1)&phi; . r m-2 . Facile enim confirmatur multiplicata hac functione per xx-2cos&phi; . rx+rr ,productum functioni propositae aequale fieri.
14.
LEMMA. Si quantitas r angulusque &phi; ita sunt determinati, vt habeantur aequationes 
r m cos m&phi; +Ar m-1 cos(m-1)&phi; +Br m-2 cos(m-2)&phi; +etc. +Krrcos2&phi; +Lrcos&phi; +M=0 [1] 
r m sin m&phi; +Ar m-1 sin(m-1)&phi; +Br m-2 sin(m-2)&phi; +etc. +Krrsin2&phi; +Lrsin&phi; =0 [2] 
functio x m +Ax m-1 +Bx m-2 +etc. +Kxx+Lx+M=X diuisibilis erit per factorem duplicem xx-2cos&phi; . rx+rr ,si modo r. sin&phi; non =0 ; si vero r. sin&phi; =0 ,eadem functio diuisibilis erit per factorem simplicem x-rcos&phi; .

Latin

Lines 1.55-1.4

Not analysed yet

12.
Denique ill. LaGrange de theoremate nostro egit in comm. Sur la forme des racines imaginaires des equations, Nouv. Mem. de l' Acad. de Berlin 1772. p. 222 sqq. Magnus hic geometra imprimis operam dedit, defectus in Euleri demonstratione prima supplere et reuera praesertim ea, quae supra (art. 8.) obiectionem tertiam et quartam constituunt, tam profunde perscrutatus est, vt nihil amplius desiderandum restet, nisi forsan in disquisitione anteriori supra theoria eliminationis (cui inuestigatio haec tota innititur) quaedam dubia superesse videantur. Attamen obiectionem primam omnino non attigit, quin etiam tota disquisitio superstructa est suppositioni, quamuis aequationem m ti gradus reuera m radices habere.
Probe itaque iis, quae hucusque exposita sunt, perpensis, demonstrationem nouam theorematis grauissimi ex principiis omnino diuersis petitam peritis haud ingratam fore spero, quam exponere statim aggredior.
13.
LEMMA. Denotante m numerum integrum positiuum quemcunque, functio sin &phi; . x m -sin m&phi; . r m-1 x+sin(m-1)&phi; . r m diuisibilis erit per xx-2cos &phi; . rx+rr .
Demonstr. Pro m=1 functio illa sit =0 adeoque per quemcunque factorem diuisibilis; pro m=2 quotiens sit sin &phi; ,et pro quouis valore maiori quotiens erit sin &phi; . x m-2 +sin 2&phi; . rx m-3 +sin3&phi; . rrx m-4 +etc. +sin(m-1)&phi; . r m-2 . Facile enim confirmatur multiplicata hac functione per xx-2cos&phi; . rx+rr ,productum functioni propositae aequale fieri.
14.
LEMMA. Si quantitas r angulusque &phi; ita sunt determinati, vt habeantur aequationes 
r m cos m&phi; +Ar m-1 cos(m-1)&phi; +Br m-2 cos(m-2)&phi; +etc. +Krrcos2&phi; +Lrcos&phi; +M=0 [1] 
r m sin m&phi; +Ar m-1 sin(m-1)&phi; +Br m-2 sin(m-2)&phi; +etc. +Krrsin2&phi; +Lrsin&phi; =0 [2] 
functio x m +Ax m-1 +Bx m-2 +etc. +Kxx+Lx+M=X diuisibilis erit per factorem duplicem xx-2cos&phi; . rx+rr ,si modo r. sin&phi; non =0 ; si vero r. sin&phi; =0 ,eadem functio diuisibilis erit per factorem simplicem x-rcos&phi; .