Latin
Lines 1.66-1.71
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.66-71
Not analysed yet
Demonstr. I. Ex art. praec. omnes sequentes quantitates diuisibiles erunt per xx-2cosφ . rx+rr :
sinφ . rx m -sin mφ . r m x +sin(m-1)φ . r m +1 Asinφ . rx m-1 -Asin(m-1)φ . r m-1 +Asin(m-2)φ . r m Bsinφ . rx m-2 -Bsin(m-2)φ . r m-2 +Bsin(m-2)φ . r m-1 etc. etc. Ksinφ . rxx -Ksin2φ . rxx +Ksinφ . r 3 Lsinφ . rx -Lsinφ . rx *Msinφ . r *+Msin(-φ) r.
Quamobrem etiam summa harum quantitatum per xx-2cosφ . rx+rr diuisibilis erit. At singularum partes primae constituunt summam sinφ . rX ; secundae additae dant 0 ,propter [2]; tertiarum vero aggregatum quoque euanescere, facile perspicitur, si [1] multiplicatur per sinφ ,[2] per cosφ ,productumque illud ab hoc subducitur. Vnde sequitur, functionem sinφ . rX diuisibilem esse per xx-2cosφ . rx+rr ,adeoque, nisi fuerit rsinφ =0 ,etiam functionem X . Q. E. P.
II. Si vero rsinφ =0 ,erit aut r=0 aut sinφ =0 . In casu priori erit M=0 ,propter [1], adeoque X per x siue per x-rcosφ diuisibilis; in posteriori erit cosφ =± 1 ,cos2φ =+1 ,cos3φ =± 1 et generaliter cos nφ =cosφ n . Quare propter [1] fiet X=0 ,statuendo x=cosφ ,et proin functio X per x-cosφ erit diuisibilis. Q. E. S.
15.
Theorema praecedens plerumque adiumento quantitatum imaginariarum demonstratur, vid. Euler Introd. in Anal. Inf. T. I. p. 110 ; operae pretium esse duxi, ostendere, quomodo aeque facile absque illarum auxilio erui possit. Manifestum iam est, ad demonstrationem theorematis nostri nihil aliud requiriri quam vt ostendatur: Proposita functione quacunque X formae x m +Ax m-1 +Bx m-2 +etc. +Lx+M ,r et φ ita determinari posse, vt aequationes [1] et [2] locum habeant . Hinc enim sequetur, X habere factorem realem primi vel secundi gradus; diuisio autem necessario producet quotientem realem inferioris gradus, qui ex eadem ratione quoque factorem primi vel secundi gradus habebit. Per continuationem huius operationis X tandem in factores reales simplices vel duplices resoluetur. Illud itaque theorema demonstrare, propositum est sequentium disquisitionum.