Latin
Lines 1.72-1.75
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.72-75
Not analysed yet
16.
Concipiatur planum fixum infinitum (planum tabulae, fig. 1.) ,et in hoc recta fixa infinita GC per punctum fixum C transiens. Assumta aliqua longitudine pro vnitate vt omnes rectae per numeros exprimi possint, erigatur in quouis puncto plani P ,cuius distantia a centro C est r angulusque GCP=φ ,perpendiculum aequale valori expressionis r m sin mφ +Ar m-1 sin(m-1)φ +etc. +Lrsinφ ,quem breuitatis gratia in sequentibus semper per T designabo. Distantiam r semper tamquam positiuam considero, et pro punctis, quae axi ab altera parte iacent, angulus φ aut tamquam duobus rectis maior, aut tamquam negatiuus (quod hic eodem redit) spectari debet. Extremitates horum perpendiculorum (quae pro valore positiuo ipsius T supra planum accipiendae sunt, pro negatiuo infra, pro euanescente in plano ipsio) erunt ad superficiem curuam continuam quaquauersum infinitam, quam breuitatis gratia in sequentibus superficiem primam vocabo. Prorsus simili modo ad idem planum et centrum eundemque axem referatur alia superficies, cuius altitudo supra quoduis plani punctum sit r m cos mφ +Ar m-1 cos(m-1)φ +etc. +Lrcosφ +M ,quam expressionem breuitatis gratia semper per U denotabo. Superficiem vero hanc, quae etiam continua et quaquauersum infinita erit, per denominationem superficiei secundae a priori distinguam. Tunc manifestum est, totum negotium in eo versari, vt demonstretur, ad minimum vnum punctum dari, quod simul in plano, in superficie prima et in superficie secunda iaceat.
17.
Facile perspici potest, superficiem primam partim supra planum partim infra planum iacere; patet enim distantiam a centro r tam magnam accipi posse, vt reliqui termini in T prae primo r m sin mφ euanescant; hic vero, angulo φ rite determinato, tam positiuus quam negatiuus fieri potest. Quare planum fixum necessario a superficie prima secabitur; hanc plani cum superficie prima intersectionem vocabo lineam primam ; quae itaque determinabitur per aequationem T=0 . Ex eadem ratione planum a superficie secunda secabitur; intersectio constituet curuam per aequationem U=0 determinatam, quam lineam secundam appellabo. Proprie vtraque curua ex pluribus ramis constabit, qui omnino seiuncti esse possunt, singuli vero erunt lineae continuae. Quin adeo linea prima semper erit talis, quam complexam vocant, axisque GC tamquam pars huius curuae spectanda; quicunque enim valor ipsi r tribuatur, U semper fiet =0 ,quando φ aut =0 aut =180° . Sed praestat complexum cunctorum ramorum per omnia puncta, vbi T=0 ,transeuntium tamquam vnam curuam considerare (secundum vsum in geometria sublimiori generaliter receptum), similiterque cunctos ramos per omnia puncta transeuntes, vbi U=0 . Patet iam, rem eo reductam esse, vt demonstretur, ad minimum vnum punctum in plano dari, vbi ramus aliquis lineae primae a ramo lineae secundae secetur. Ad hunc finem indolem harum linearum propius contemplari oportebit.